W latach 1975-1980 studiował na Wydziale Instrumentalnym Akademii Muzycznej im. Karola Szymanowskiego w Katowicach, w klasie waltorni doc. Adama Przybyły i w klasie kameralnej prof. Andrzeja Janickiego. Jako student brał udział w licznych festiwalach i konkursach zdobywając nagrody i wyróżnienia.
Po krótkim okresie pracy w Orkiestrze Symfonicznej Polskiego Radia w Krakowie, od 1980 roku związany był z Narodową Orkiestrą Symfoniczną Polskiego Radia w Katowicach jako waltornista – solista. Jako muzyk NOSPR wiele koncertował w kraju i za granicą, brał udział w nagraniach archiwalnych dla Polskiego Radia i nagraniach płytowych (ponad 120 płyt) dzieł literatury światowej, wykonując solowe partie waltorni w utworach m.in. Mahlera, Brahmsa, Czajkowskiego, Straussa, Wagnera i in. Wieloletnią działałność z NOSPR zakończył w październiku 2024 roku.
W latach 1982-1988 współpracował z Orkiestrą Symfoniczną Filharmonii Narodowej w Warszawie, a w latach 1985-1987 był I waltornistą Polskiej Orkiestry Kameralnej Sinfonia Varsovia. Z orkiestrami tymi odbył wiele zagranicznych tournées, współpracując z najwybitniejszymi dyrygentami i solistami. Wiesław Grochowski wielokrotnie był zapraszany do udziału w pracach jury ogólnopolskich i międzynarodowych przesłuchań i konkursów muzycznych uczniów i studentów klas instrumentów dętych blaszanych, a także warsztatów dla waltornistów.
W latach 1995-2004 pracował w Akademii Muzycznej im. Karola Lipińskiego we Wrocławiu, a od 2001 prowadzi działalność dydaktyczną w Akademii Muzycznej im. Karola Szymanowskiego w Katowicach. W 1996 roku uzyskał kwalifikacje I stopnia, a w 2004 roku stopień doktora habilitowanego sztuk muzycznych w zakresie instrumentalistki - gry na waltorni. Studenci z klasy waltorni Wiesława Grochowskiego zdobyli szereg nagród i wyróżnień na konkursach muzycznych, a jego absolwenci pracują w orkiestrach symfonicznych i teatrach operowych w Polsce.
